收縮共變異數估計：LedoitWolf vs OAS 和最大概似#

在使用共變異數估計時，通常的方法是使用最大概似估計器，例如 EmpiricalCovariance。它是無偏的，也就是說，當給出許多觀察值時，它會收斂到真實（母體）共變異數。然而，為了減少其變異數，對其進行正規化也可能是有益的；反過來，這會引入一些偏差。此範例說明收縮共變異數估計器中使用的簡單正規化。特別是，它著重於如何設定正規化的量，即如何選擇偏差-變異數權衡。

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

產生樣本數據#

import numpy as np

n_features, n_samples = 40, 20
np.random.seed(42)
base_X_train = np.random.normal(size=(n_samples, n_features))
base_X_test = np.random.normal(size=(n_samples, n_features))

# Color samples
coloring_matrix = np.random.normal(size=(n_features, n_features))
X_train = np.dot(base_X_train, coloring_matrix)
X_test = np.dot(base_X_test, coloring_matrix)

計算測試資料上的概似#

from scipy import linalg

from sklearn.covariance import ShrunkCovariance, empirical_covariance, log_likelihood

# spanning a range of possible shrinkage coefficient values
shrinkages = np.logspace(-2, 0, 30)
negative_logliks = [
    -ShrunkCovariance(shrinkage=s).fit(X_train).score(X_test) for s in shrinkages
]

# under the ground-truth model, which we would not have access to in real
# settings
real_cov = np.dot(coloring_matrix.T, coloring_matrix)
emp_cov = empirical_covariance(X_train)
loglik_real = -log_likelihood(emp_cov, linalg.inv(real_cov))

比較設定正規化參數的不同方法#

在這裡我們比較 3 種方法

透過根據潛在收縮參數的網格，交叉驗證三個折疊上的概似來設定參數。
Ledoit 和 Wolf 提出的緊密公式，用於計算漸近最佳正規化參數（最小化 MSE 標準），產生 LedoitWolf 共變異數估計。
Ledoit-Wolf 收縮的改進，由 Chen 等人提出的 OAS。在資料為高斯分佈的假設下，尤其是在小樣本的情況下，其收斂性明顯更好。

from sklearn.covariance import OAS, LedoitWolf
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

# GridSearch for an optimal shrinkage coefficient
tuned_parameters = [{"shrinkage": shrinkages}]
cv = GridSearchCV(ShrunkCovariance(), tuned_parameters)
cv.fit(X_train)

# Ledoit-Wolf optimal shrinkage coefficient estimate
lw = LedoitWolf()
loglik_lw = lw.fit(X_train).score(X_test)

# OAS coefficient estimate
oa = OAS()
loglik_oa = oa.fit(X_train).score(X_test)

繪製結果#

為了量化估計誤差，我們繪製了不同收縮參數值的未見資料的概似。我們還展示了透過交叉驗證，或使用 LedoitWolf 和 OAS 估計的選擇。

import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
plt.title("Regularized covariance: likelihood and shrinkage coefficient")
plt.xlabel("Regularization parameter: shrinkage coefficient")
plt.ylabel("Error: negative log-likelihood on test data")
# range shrinkage curve
plt.loglog(shrinkages, negative_logliks, label="Negative log-likelihood")

plt.plot(plt.xlim(), 2 * [loglik_real], "--r", label="Real covariance likelihood")

# adjust view
lik_max = np.amax(negative_logliks)
lik_min = np.amin(negative_logliks)
ymin = lik_min - 6.0 * np.log((plt.ylim()[1] - plt.ylim()[0]))
ymax = lik_max + 10.0 * np.log(lik_max - lik_min)
xmin = shrinkages[0]
xmax = shrinkages[-1]
# LW likelihood
plt.vlines(
    lw.shrinkage_,
    ymin,
    -loglik_lw,
    color="magenta",
    linewidth=3,
    label="Ledoit-Wolf estimate",
)
# OAS likelihood
plt.vlines(
    oa.shrinkage_, ymin, -loglik_oa, color="purple", linewidth=3, label="OAS estimate"
)
# best CV estimator likelihood
plt.vlines(
    cv.best_estimator_.shrinkage,
    ymin,
    -cv.best_estimator_.score(X_test),
    color="cyan",
    linewidth=3,
    label="Cross-validation best estimate",
)

plt.ylim(ymin, ymax)
plt.xlim(xmin, xmax)
plt.legend()

plt.show()