使用貝氏嶺迴歸進行曲線擬合#

計算正弦波的貝氏嶺迴歸。

有關迴歸器的更多資訊，請參閱貝氏嶺迴歸。

一般而言，當使用貝氏嶺迴歸用多項式擬合曲線時，正規化參數（alpha、lambda）初始值的選擇可能很重要。這是因為正規化參數由取決於初始值的迭代過程確定。

在此範例中，正弦波使用不同的初始值對來逼近多項式。

從預設值開始（alpha_init = 1.90，lambda_init = 1.），結果曲線的偏差很大，而變異數很小。因此，lambda_init 應該相對較小（1.e-3）以減少偏差。

此外，透過評估這些模型的對數邊緣似然 (L)，我們可以確定哪個模型更好。可以得出結論，具有較大 L 的模型更有可能。

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產生帶有雜訊的正弦波資料#

import numpy as np


def func(x):
    return np.sin(2 * np.pi * x)


size = 25
rng = np.random.RandomState(1234)
x_train = rng.uniform(0.0, 1.0, size)
y_train = func(x_train) + rng.normal(scale=0.1, size=size)
x_test = np.linspace(0.0, 1.0, 100)

使用三次多項式擬合#

from sklearn.linear_model import BayesianRidge

n_order = 3
X_train = np.vander(x_train, n_order + 1, increasing=True)
X_test = np.vander(x_test, n_order + 1, increasing=True)
reg = BayesianRidge(tol=1e-6, fit_intercept=False, compute_score=True)

繪製真實曲線和預測曲線以及對數邊緣似然 (L)#

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))
for i, ax in enumerate(axes):
    # Bayesian ridge regression with different initial value pairs
    if i == 0:
        init = [1 / np.var(y_train), 1.0]  # Default values
    elif i == 1:
        init = [1.0, 1e-3]
        reg.set_params(alpha_init=init[0], lambda_init=init[1])
    reg.fit(X_train, y_train)
    ymean, ystd = reg.predict(X_test, return_std=True)

    ax.plot(x_test, func(x_test), color="blue", label="sin($2\\pi x$)")
    ax.scatter(x_train, y_train, s=50, alpha=0.5, label="observation")
    ax.plot(x_test, ymean, color="red", label="predict mean")
    ax.fill_between(
        x_test, ymean - ystd, ymean + ystd, color="pink", alpha=0.5, label="predict std"
    )
    ax.set_ylim(-1.3, 1.3)
    ax.legend()
    title = "$\\alpha$_init$={:.2f},\\ \\lambda$_init$={}$".format(init[0], init[1])
    if i == 0:
        title += " (Default)"
    ax.set_title(title, fontsize=12)
    text = "$\\alpha={:.1f}$\n$\\lambda={:.3f}$\n$L={:.1f}$".format(
        reg.alpha_, reg.lambda_, reg.scores_[-1]
    )
    ax.text(0.05, -1.0, text, fontsize=12)

plt.tight_layout()
plt.show()