核嶺迴歸與 SVR 的比較#

核嶺迴歸 (KRR) 和 SVR 都透過使用核技巧來學習非線性函數，也就是說，它們在各自核所誘導的空間中學習線性函數，這對應於原始空間中的非線性函數。它們在損失函數（嶺與 epsilon 不敏感損失）方面有所不同。與 SVR 相比，KRR 的擬合可以閉合形式完成，對於中型資料集來說通常速度更快。另一方面，學習到的模型是非稀疏的，因此在預測時比 SVR 慢。

此範例說明了在人工資料集上的兩種方法，該資料集由正弦目標函數和添加到每第五個資料點的強雜訊組成。

作者：scikit-learn 開發人員 SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

產生樣本資料#

import numpy as np

rng = np.random.RandomState(42)

X = 5 * rng.rand(10000, 1)
y = np.sin(X).ravel()

# Add noise to targets
y[::5] += 3 * (0.5 - rng.rand(X.shape[0] // 5))

X_plot = np.linspace(0, 5, 100000)[:, None]

建構基於核的迴歸模型#

from sklearn.kernel_ridge import KernelRidge
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.svm import SVR

train_size = 100

svr = GridSearchCV(
    SVR(kernel="rbf", gamma=0.1),
    param_grid={"C": [1e0, 1e1, 1e2, 1e3], "gamma": np.logspace(-2, 2, 5)},
)

kr = GridSearchCV(
    KernelRidge(kernel="rbf", gamma=0.1),
    param_grid={"alpha": [1e0, 0.1, 1e-2, 1e-3], "gamma": np.logspace(-2, 2, 5)},
)

比較 SVR 和核嶺迴歸的時間#

import time

t0 = time.time()
svr.fit(X[:train_size], y[:train_size])
svr_fit = time.time() - t0
print(f"Best SVR with params: {svr.best_params_} and R2 score: {svr.best_score_:.3f}")
print("SVR complexity and bandwidth selected and model fitted in %.3f s" % svr_fit)

t0 = time.time()
kr.fit(X[:train_size], y[:train_size])
kr_fit = time.time() - t0
print(f"Best KRR with params: {kr.best_params_} and R2 score: {kr.best_score_:.3f}")
print("KRR complexity and bandwidth selected and model fitted in %.3f s" % kr_fit)

sv_ratio = svr.best_estimator_.support_.shape[0] / train_size
print("Support vector ratio: %.3f" % sv_ratio)

t0 = time.time()
y_svr = svr.predict(X_plot)
svr_predict = time.time() - t0
print("SVR prediction for %d inputs in %.3f s" % (X_plot.shape[0], svr_predict))

t0 = time.time()
y_kr = kr.predict(X_plot)
kr_predict = time.time() - t0
print("KRR prediction for %d inputs in %.3f s" % (X_plot.shape[0], kr_predict))

Best SVR with params: {'C': 1.0, 'gamma': np.float64(0.1)} and R2 score: 0.737
SVR complexity and bandwidth selected and model fitted in 0.535 s
Best KRR with params: {'alpha': 0.1, 'gamma': np.float64(0.1)} and R2 score: 0.723
KRR complexity and bandwidth selected and model fitted in 0.217 s
Support vector ratio: 0.340
SVR prediction for 100000 inputs in 0.112 s
KRR prediction for 100000 inputs in 0.102 s

查看結果#

import matplotlib.pyplot as plt

sv_ind = svr.best_estimator_.support_
plt.scatter(
    X[sv_ind],
    y[sv_ind],
    c="r",
    s=50,
    label="SVR support vectors",
    zorder=2,
    edgecolors=(0, 0, 0),
)
plt.scatter(X[:100], y[:100], c="k", label="data", zorder=1, edgecolors=(0, 0, 0))
plt.plot(
    X_plot,
    y_svr,
    c="r",
    label="SVR (fit: %.3fs, predict: %.3fs)" % (svr_fit, svr_predict),
)
plt.plot(
    X_plot, y_kr, c="g", label="KRR (fit: %.3fs, predict: %.3fs)" % (kr_fit, kr_predict)
)
plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("SVR versus Kernel Ridge")
_ = plt.legend()

上圖比較了當使用網格搜尋最佳化 RBF 核心的複雜度/正規化和頻寬時，KRR 和 SVR 的學習模型。學習到的函數非常相似；但是，擬合 KRR 的速度比擬合 SVR 快約 3-4 倍（兩者都使用網格搜尋）。

理論上，使用 SVR 預測 100000 個目標值可能會快約三倍，因為它使用僅約 1/3 的訓練資料點作為支持向量學習了一個稀疏模型。然而，實際上，情況不一定是這樣，因為每個模型計算核函數的方式的實作細節可能會使 KRR 模型速度與執行更多算術運算的 KRR 模型一樣快甚至更快。

視覺化訓練和預測時間#

plt.figure()

sizes = np.logspace(1, 3.8, 7).astype(int)
for name, estimator in {
    "KRR": KernelRidge(kernel="rbf", alpha=0.01, gamma=10),
    "SVR": SVR(kernel="rbf", C=1e2, gamma=10),
}.items():
    train_time = []
    test_time = []
    for train_test_size in sizes:
        t0 = time.time()
        estimator.fit(X[:train_test_size], y[:train_test_size])
        train_time.append(time.time() - t0)

        t0 = time.time()
        estimator.predict(X_plot[:1000])
        test_time.append(time.time() - t0)

    plt.plot(
        sizes,
        train_time,
        "o-",
        color="r" if name == "SVR" else "g",
        label="%s (train)" % name,
    )
    plt.plot(
        sizes,
        test_time,
        "o--",
        color="r" if name == "SVR" else "g",
        label="%s (test)" % name,
    )

plt.xscale("log")
plt.yscale("log")
plt.xlabel("Train size")
plt.ylabel("Time (seconds)")
plt.title("Execution Time")
_ = plt.legend(loc="best")

此圖比較了 KRR 和 SVR 在不同大小的訓練集下的擬合和預測時間。對於中型訓練集（少於幾千個樣本），擬合 KRR 比 SVR 快；但是，對於較大的訓練集，SVR 的擴展性更好。關於預測時間，由於學習到的稀疏解決方案，SVR 在所有訓練集大小下都應該比 KRR 快，但是由於實作細節，在實踐中情況不一定是這樣。請注意，稀疏程度以及預測時間取決於 SVR 的參數 epsilon 和 C。

視覺化學習曲線#

from sklearn.model_selection import LearningCurveDisplay

_, ax = plt.subplots()

svr = SVR(kernel="rbf", C=1e1, gamma=0.1)
kr = KernelRidge(kernel="rbf", alpha=0.1, gamma=0.1)

common_params = {
    "X": X[:100],
    "y": y[:100],
    "train_sizes": np.linspace(0.1, 1, 10),
    "scoring": "neg_mean_squared_error",
    "negate_score": True,
    "score_name": "Mean Squared Error",
    "score_type": "test",
    "std_display_style": None,
    "ax": ax,
}

LearningCurveDisplay.from_estimator(svr, **common_params)
LearningCurveDisplay.from_estimator(kr, **common_params)
ax.set_title("Learning curves")
ax.legend(handles=ax.get_legend_handles_labels()[0], labels=["SVR", "KRR"])

plt.show()